Question

如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，求使z=6x+8y取得最大值的点的坐标.

Answer 1

解法一：由题图可知，使目标函数z=6x+8y取得最大值的点一定在边界x+y=5或2x+y=6上取得.

①当0≤x≤1时，z=6x+8y=6x+8(5-x)=40-2x在［0，1］上为减函数，所以当x=0时，z_max=40；

②当1≤x≤3时，z=6x+8(6-2x)=40-10x在［1，3］上也是减函数，所以当x=1时，z_max=38.

由①②可知：当x=0时，z=6x+8y最大，此时y=5，所以所求的点的坐标为（0，5）.

解法二：要使目标函数z=6x+8y取得最大值，即使y=-x+的截距最大，且阴影部分至少有一个在直线y=-x+上，因为-＞-1＞-2，所以易得知所求点的坐标为（0，5）.

解法三：利用线性规划，按教材给出方法求解.

作直线l：6x+8y=0，即作直线l：3x+4y=0.把直线l向右上方平移至l₁的位置时，直线经过可行域上的N点时，z=6x+8y取最大值.

解方程组得N点坐标为（0，5），代入目标函数z=6x+8y，z=?6×0+8×5=40.

故知所求点为（0，5）时，z=6x+8y取最大值40.