题目内容

已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足f(2)=1.
(1)求f(1)、f(4)的值;
(2)求满足f(x)+f(x-3)>2的x的取值范围.
考点:抽象函数及其应用,奇偶性与单调性的综合
专题:函数的性质及应用
分析:(1)根据已知条件,只需取x=1,y=1,便可求出f(1);取x=2,y=2,便可求出f(4).
(2)根据已知条件可以得到:f[x(x-3)]>f(4),根据已知的条件解这个不等式即可.
解答: 解:(1)取x=y=1,则:f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0;
取x=y=2,则:f(4)=f(2)+f(2)=2,即f(4)=2.
(2)由题意得,f[x(x-3)]>f(4);
∴x应满足:
x>0
x-3>0
x(x-3)>4

解得,x>4.
∴满足f(x)+f(x-3)>2的x的取值范围是(4,+∞).
点评:考查对条件f(xy)=f(x)+f(y)的运用,利用函数的单调性解不等式,注意限制x>0,x-3>0.
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