Question

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点F（，）的距离与到定直线l₁：x+y+=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若=λ，证明：⊥（-λ）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，建立关于x、y的方程并化简整理，即可得到曲线C₁的方程．分别取x=0和y=0解出曲线C₁在轴上的截距，即可曲线C₁与坐标轴的各交点的坐标．再由曲线是以F（，）为焦点，直线l₁：x+y+=0为准线的抛物线，将其顺时针方向旋转45°得到的抛物线焦点为（1，0），准线为x=-1，可得曲线C₂的方程是y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线l₂的方程为y=k（x-m），与抛物线y²=4x消去x，得y²-y-4m=0，可得y₁y₂=-4m．设N（-m，0），由=λ算出λ=，结合向量坐标运算公式得到-λ关于x₁、x₂、λ和m的坐标式，代入•（-λ）并化简，整理可得•（-λ）=0，从而得到对任意的λ满足=λ，都有⊥（-λ）．
解答：解（1）设P（x，y），由题意知曲线C₁为抛物线，并且有
=，
化简得抛物线C₁的方程为：x²+y²-2xy-4x-4y=0．
令x=0，得y=0或y=4；再令y=0，得x=0或x=4，
所以，曲线C₁与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4）和（4，0）．
点F（，）到l₁：x+y+=0的距离为=2，
所以C₂是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知直线l₂的斜率k存在且不为零，
设直线l₂的方程为y=k（x-m），代入y²=4x得
y²-y-4m=0，可得y₁y₂=-4m．
由=λ，得（m-x₁，-y₁）=λ（x₂-m，y₂），可得λ=，
而N（-m，0），可得-λ=（x₁+m，y₁）-λ（x₂+m，y₂）=（x₁-λx₂+（1-λ）m，y₁-λy₂）
∵=（2m，0），
∴•（-λ）=2m[x₁-λx₂+（1-λ）m]=2m[+-+（1+）m]
=2m（y₁+y₂）•=2m（y₁+y₂）•=0
∴对任意的λ满足=λ，都有⊥（-λ）．
点评：本题给出动点的轨迹，求轨迹对应的方程并讨论由曲线产生的向量互相垂直的问题，着重考查了点到直线的距离公式、平面内两点的距离公式、一元二次方程根与系数的关系和平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题．