Question

在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为　　．

Answer 1

考点：

余弦定理；正弦定理．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

由△BCD的面积为4，求得sin∠BCD 的值，进而求得cos∠BCD 的值，△BCD中，由余弦定理可得BD 的值，△BCD中，由正弦定理求得sinB 的值．再在△ABC中，由正弦定理求得AC的长．

解答：

解：由题意可得CB•CD•sin∠BCD=4，即 ×2×2 sin∠BCD=4，解得 sin∠BCD=．

①当∠BCD 为锐角时，cos∠BCD=．

△BCD中，由余弦定理可得 BD==4．

△BCD中，由正弦定理可得 ，即 ，故 sinB=．

在△ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得 AC=4．

②当∠BCD 为钝角时，cos∠BCD=﹣．

△BCD中，由余弦定理可得 BD==4 ．

△BCD中，由正弦定理可得 ，即 ，故 sinB=．

在△ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得 AC=2．

综上可得 AC=4或2，

故答案为  4或2．

点评：

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，判断三角形的形状的方法，体现了分类讨论的数学思想，讨论∠BCD 为锐角和钝角两种情况，是解题的易错点，是一个中档题目．