Question

9．设直线y=2x+k与抛物线y²=4x相交于A，B两点．
（1）当|AB|=3$\sqrt{5}$时，求k的值；
（2）设点P是x轴上一点，当△PAB的面积为9时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可求|AB|，即可得到结论；
（2）求出P到AB的距离，利用△PAB的面积为9，建立方程，即可求点P的坐标．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由抛物线y²=4x与直线y=2x+b，可得4x²+4（k-1）x+k²=0，
△=16（k-1）²-16k²＞0，
∴k＜$\frac{1}{2}$．
又由韦达定理有x₁+x₂=1-k，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5（1-2k）}$=3$\sqrt{5}$，
∴k=-4；
（2）设x轴上点P（x，0），P到AB的距离为d，
则d=$\frac{|2x-0-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2x-4|}{\sqrt{5}}$，
∴S_△PBA=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{5}$•$\frac{|2x-4|}{\sqrt{5}}$=9，
∴|2x-4|=6，
∴x=5或x=-1，
∴P（5，0）或（-1，0）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，弦长的计算，考查三角形面积公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．