Question

在平面直角坐标系中，若，且，

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知定点，若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点，且对于轨迹上任意一点，都存在，使得成立，试求出满足条件的实数的值。

Answer 1

（1）轨迹是以为焦点的椭圆，方程为  

（2）的值是。

解析:

（1）∵，且，

∴动点到两个定点的距离的和为4，

∴轨迹是以为焦点的椭圆，方程为  

（2）设，直线的方程为，代入，

消去得 ，

     由得 ，  且，            

    ∴                                     

    设点，由可得

∵点在上，

∴

   

       

                                         

∴，

又因为的任意性，∴，                   

∴，又，   得 ，

   代入检验，满足条件，故的值是。