Question

已知函数f(x)=cos2(x+

π

12

)，g(x)=1+

1

2

sin2x．
（1）若f（x₀）=0，求g（x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数对称轴的性质确定x₀的值，然后代入求值即可．
（2）通过两角和与差的三角函数化简h（x）=f（x）+g（x）为一个角的一个三角函数的想，通过正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间．

解答：解：（1）由题设知f（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]．
因为f（x₀）=0，所以1+cos（2x₀+

π

6

）=0，
cos（2x₀+

π

6

）=-1，即x₀=kπ+

5

12

π（k∈Z）．
所以g（x₀）=1+

1

2

sin 2x₀=1+

1

2

sin（2kπ+

5π

6

）=

5

4

．（6分）
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]+1+

1

2

sin 2x
=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin 2x]+

3

2

=

1

2

（

3

2

cos 2x+

1

2

sin 2x）+

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

．
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）时，
函数h（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

是增函数，
故函数h（x）的单调递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．（12分）

点评：本题主要考查三角函数的化简以及倍角公式，辅助角公式的应用，综合性较强．