题目内容

已知双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1的离心率e＞1+ $数学公式$ ，左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项？

解：设在左支上存在P点，使|PF₁|²=|PF₂|•d，由双曲线的第二定义知
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =e，即|PF₂|=e|PF₁|①
再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|= $\text{[math]}$ ，|PF₂|= $\text{[math]}$ ，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2c．③
利用e= $\text{[math]}$ ，由③得e²-2e-1≤0，
解得1- $\text{[math]}$ ≤e≤1+ $\text{[math]}$ ．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+ $\text{[math]}$ 与已知e＞1+ $\text{[math]}$ 矛盾．
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．
分析：设左支上存在P点，由双曲线的第二定义知|PF₂|=e|PF₁|，再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a由此推导出e²-2e-1≤0，解得1＜e≤1+ $\text{[math]}$ 与已知e＞1+ $\text{[math]}$ 矛盾．从而断定在双曲线左支上找不到点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．
点评：本题是双曲线的综合题，综合利用双曲线的第一定义和第二定义求解，在解题时要注意反证法的运用．