Question

（本题满分12分）

已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

	3	2	4
		0	4

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求      ………………2分

       设：，把点（2，0）（，）代入得：

     解得

∴方程为  ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）法一：

假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，

       由消去，得_{…………………………7分}

       ∴     ①

            ②      ………………………9分

       由，即，得

将①②代入（*）式，得， 解得  …………………11分

所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或…………………………………………………………………………………12分

法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分

当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为

由消掉，得 ，  …………8分

于是 ，    ①

即   ② ………………………………10分

由，即，得

将①、②代入（*）式，得  ，解得；……11分

所以存在直线满足条件，且的方程为：或．………12分