Question

18．已知定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}$且f（x+2）=f（x）．若方程f（x）-kx-2=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{3}，1）$
• B． $（-\frac{1}{3}，-\frac{1}{4}）$
• C． $（\frac{1}{3}，1）∪（-1，-\frac{1}{3}）$
• D． $（-\frac{1}{3}，-\frac{1}{4}）∪（\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}$与g（x）=kx+2的图象，求直线l，m，n，q的斜率，从而求实数k的取值范围．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}$与g（x）=kx+2的图象如下，
，
直线g（x）=kx+2恒过点（0，2），
k_l=$\frac{3-2}{-3-0}$=-$\frac{1}{3}$，
k_m=$\frac{3-2}{-1-0}$=-1，
k_n=$\frac{3-2}{1-0}$=1，
k_q=$\frac{3-2}{3-0}$=$\frac{1}{3}$，
结合图象可知，
实数k的取值范围是$（\frac{1}{3}，1）∪（-1，-\frac{1}{3}）$，
故选：C．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及直线的斜率与应用，熟练作图是关键，属于中档题．