Question

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（1）求角C：
（2）设c=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函数关系式求出sinA，sinB，直接利用两角和与差的三角函数，以及三角形的内角和，化简求解即可．
（2）结合已知，由正弦定理分别求出b，a的值，即可根据三角形面积公式求值．

解答 解：（1）∵cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．A、B、C为三角形内角．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）∵c=$\sqrt{2}$，由（1）可得：sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数公式，三角形的内角和公式，三角形面积公式以及正弦定理的应用，属于基本知识的考查．