Question

【题目】已知直线： 与抛物线交于， 两点，记抛物线在， 两点处的切线， 的交点为．

（I）求证: ；

（II）求点的坐标(用， 表示)；

（Ⅲ）若，求△的面积的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) （III）

【解析】试题分析：(Ⅰ) 由，可得，根据韦达定理可得结果；(Ⅱ) 设： ，由 联立可得，解得，可得以： ，同理可得： ，两式联立可解得点的坐标；（Ⅲ）根据弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式，可得，由得， ，化简后利用基本不等式可得结果.

试题解析：(Ⅰ) 解：由

可得，

所以， ．

(Ⅱ) 证明：由已知，所以可设： ，由 联立可得，由，所以． 所以： ，同理可得： ． 由解得， ，

所以点的坐标为．

（III）由(Ⅱ)可知点 到直线的距离，又，所以△的面积．　

因为， ，所以，当， 取到等号，所以△的面积的最小值为．