Question

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g(x)=f(x)+

2

x

在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-2e时，我们易得到函数的解析式，进而求出函数的导函数，列表讨论导函数的符号，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g(x)=f(x)+

2

x

在[1，3]上是减函数，则g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此转化为函数恒成立问题，并转化为a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=-2e时，f′(x)=2x-

2e

x

=

2(x+ e )(x- e )

x

．（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，

e

)；
单调递增区间是(

e

，+∞)．
极小值是f(

e

)=0．（6分）
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

，得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

．
又函数g(x)=x2+alnx+

2

x

为[1，3]上单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式2x-

2

x2

+

a

x

≤0在[1，3]上恒成立．
即a≤

2

x

-2x2在[1，3]上恒成立．（10分）
又?(x)=

2

x

-2x2在[1，3]为减函数，
所以?(x)的最小值为?(3)=-

52

3

．
所以a≤-

52

3

．（12分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的单调性与导数的关系，其中根据原函数的解析式，求出导函数的解析式是解答本题的关键．