Question

已知函数f（x）=

m

3

x3-

1

2

x2+n（m≠0）．
（I）若f（x）在x=1处取得极小值0，求实数m，n的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）求函数的导数，利用f（x）在x=1处取得极小值0，求实数m，n的值；
（Ⅱ）求导数，利用导数研究函数的单调性．

解答：解：（I）函数的导数为f'（x）=mx²-x，若f（x）在x=1处取得极小值0，则f'（1）=m-1=0，解得m=1，
且f（1）=0．所以f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+n，所以由f（1）=0，解得n=

1

6

．
（Ⅱ）因为函数的导数为f'（x）=mx²-x=x（mx-1）=mx(x-

1

m

)，对应方程的两个根为0，

1

m

．
若m＞0，则由f'（x）＞0，解得x＞

1

m

或x＜0，此时函数单调递增．由f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

m

，此时函数单调递减．
若m＜0，则由f'（x）＞0，解得

1

m

＜x＜0，此时函数单调递增．x＜0，由f'（x）＜0，解得x＞0或x＜

1

m

，此时函数单调递减．
综上若m＞0，函数的增区间为（-∞，0）和（

1

m

，+∞），单调减区间为（0，

1

m

）．
若m＜0，函数的增区间为（

1

m

，0）．单调减区间为（-∞，

1

m

）和（0，+∞）．

点评：本题主要考查了函数的极值和单调性与导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．