Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12；数列{b_n}的前n项和是{S_n}，且S_n+b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n对一切n∈N^*都成立，求最小正整数m．

Answer 1

【答案】分析：（1）由数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出它的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由数列{b_n}的前n项和是{S_n}，且S_n+b_n=1，当n=1时，解得．当n≥2时推导出，由此能够证明{b_n}是公比的等比数列．
（3）由b_n==2•（）ⁿ，知C_n==，由此利用裂项求和法得到T_n=1-＜1．由T_n对一切n∈N^*都成立，知≥1．由此以能求出最小正整数m的值．
解答：（1）解：∵数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12，
∴，解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）证明：∵数列{b_n}的前n项和是{S_n}，且S_n+b_n=1，
∴当n=1时，，解得．
当n≥2时，∵S_n=1-，S_n-1=1-，
∴S_n-S_n-1=，即，
∴=．
∴{b_n}是以为首项，为公比的等比数列．
（3）解：由（2）知，b_n==2•（）ⁿ，
∴C_n====，
∴T_n=[（1-）+（）+（）+…+（）]
=1-＜1．
∵T_n对一切n∈N^*都成立，
∴≥1．∴m≥2012，
∴最小正整数m的值为2012．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查最小正整数的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和裂项求和法的合理运用．