Question

已知a＞b＞c，比较a²b+b²c+c²a与ab²+bc²+ca²的大小.

Answer 1

解：a²b+b²c+c²a-(ab²+bc²+ca²)

=（a²b-ab²）+(b²c-ca²)+(c²a-bc²)

=ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c²(a-b)

=(a-b)(ab-ac-bc+c²)

=(a-b)［a(b-c)-c(b-c)］

=(a-b)(a-c)(b-c).

∵a＞b＞c,

∴a-b＞0,a-c＞0,b-c＞0.

∴(a-b)(a-c)(b-c)＞0.

∴a²b+b²c+c²a＞ab²+bc²+ca².

温馨提示

(1)根据实数大小与实数运算性质关系可知，比较两个数的大小，可以作差比较，通过判断差的符号，得到两数的大小，作差后，一般方法是将差因式分解，从而只需判断简单因式的符号，当然也可以把差通过配方等方法写成一些正数（负数）的和.

（2）两个数的大小，还可以通过应用不等式的性质将条件中的不等式进行移项,同乘一个数、开方、乘方等变形得到两数的大小.

（3）根据不等式性质，比较两数大小还可以用做平方差等方法.如果是两正数（负数），还可以作商，比较商与1的大小,不过要注意商的分母必须恒正或恒负.