题目内容

已知函数 $数学公式$ ，x≠0
（1）用定义证明函数为奇函数；
（2）用定义证明函数在（0， $数学公式$ ）上单调递减，在（ $数学公式$ ）上单调递增；
（3）求函数在[1，4]上的最大值和最小值．

解：（1）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数 $\text{[math]}$ ，x≠0 满足
∴对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-x+ $\text{[math]}$ =-（ $\text{[math]}$ ）=-f（x），
函数 $\text{[math]}$ ，x≠0是奇函数．（5分）
（2）设 0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ ，则 f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）
=（x₁-x₂）- $\text{[math]}$ =（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ）．
由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1- $\text{[math]}$ ）＜0，
∴（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减．
设 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ），
由 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1- $\text{[math]}$ ）＞0，
∴（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ）＜0，f（x₁）＜f（x₂），故函数在（ $\text{[math]}$ ）上单调递增．（10分）
（3）由于函数在（1， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在[ $\text{[math]}$ ]上单调递增，
故当x= $\text{[math]}$ 时，函数有最小值等于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
又 f（1）=1+2=3，f（4）=4+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故函数在[1，4]上的最大值为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）由函数的定义域关于原点对称，对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-f（x），即可证明函数为奇函数．
（2）设 0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ ，化简f（x₁）-f（x₂）的解析式为（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ）＞0，可得函数在
（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减，同理可证函数在（ $\text{[math]}$ ）上单调递增．
（3）由于函数在（1， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在[ $\text{[math]}$ ]上单调递增，故当x= $\text{[math]}$ 时，函数有最小值等于 $\text{[math]}$ ，
f（1）和f（4）中较大的就是函数在[1，4]上的最大值．
点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的证明，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，属于基础题．