Question

已知f（x）为二次函数，且f（-1）=2，f′（0）=0，∫₀¹f（x）dx=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
则f′（x）=2ax+b．
由f(-1)=2，f′(0)=0，得

a-b=c=2 b=0

，即

c=2-a b=0

.
∴f（x）=ax²+（2-a）．
又∫₀¹f（x）dx=∫₀¹[ax²+（2-a）]dx
=[

1

3

ax³+（2-a）x]|₀¹=2-

2

3

a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
从而f（x）=6x²-4．
（2）∵f（x）=6x²-4，x∈[-1，1]，
所以当x=0时f（x）_min=-4；
当x=±1时，f（x）_max=2．