Question

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；
（2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

试题分析：（1）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，依题意，两人累计得分的可能值为，故事件“”的对立事件为“”，所以所求事件的概率；（2）因为每次抽奖中奖与否互不影响，且对方案甲或方案乙而言，中奖的概率不变，故对于张三、李四两人抽奖可看成两次独立重复试验，其中奖次数服从二项分布，设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X₁，都选择方案乙抽奖中奖次数为X₂，则X₁～，X₂～B，则累计得分的期望为E(2X₁)，E(3X₂)，从而比较大小即可.
（1）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为×，所以＝1－×=，所以 .  6分
（2）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X₁，都选择方案乙抽奖中奖次数为X₂，
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X₁)，
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X₂)．
由已知可得，X₁～，X₂～B，
所以E(X₁)＝2×＝，E(X₂)＝2×，
从而E(2X₁)＝2E(X₁)＝，E(3X₂)＝3E(X₂)＝6.
若，即，所以；
若，即，所以；
若，即，所以．
综上所述：当时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案甲或乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等.  12分