题目内容

已知向量 $数学公式$ =（1，2）， $数学公式$ =（-3，2）
（1）求向量 $数学公式$ 在 $数学公式$ 方向上的投影；
（2）是否存在实数k，使得 $数学公式$ 与 $数学公式$ 共线，且方向相反？

解：（1）∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$
设向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ，
则向量 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影| $\text{[math]}$ |cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）假设存在实数k，则∵ $\text{[math]}$ =k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
$\text{[math]}$ =（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）
若（ $\text{[math]}$ ）∥（ $\text{[math]}$ ），得-4（k-3）-10（2k+2）=0，
解得k=- $\text{[math]}$
此时 $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ （10，-4），
所以 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），即两个向量方向相反
故题设的实数k存在，k=- $\text{[math]}$
分析：（1）由向量数量积运算的几何意义知，向量 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影为 $\text{[math]}$ ，代入坐标计算即可；
（2）利用两个向量共线的充要条件，将其转化为坐标运算，解方程可得k值，再利用实数与向量积的几何意义，判断方向即可
点评：本题考查了向量数量积运算的几何意义，向量的坐标表示及其运算性质，投影的定义及运算，向量共线的充要条件