Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；
（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ），计算．即可求得结果．
（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出，计算
即可取得结果．
解答：法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．

（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角．
连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a²=3b²，PB=，
∴．
∴AC与PB所成的角为．

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=，
∴．
∴AB=2，
∴
故所求的二面角为．

法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，
如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M
（Ⅰ）证明：因为，
故，所以AP⊥DC．
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

（Ⅱ）解：因，
故=，
所以
由此得AC与PB所成的角为．
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），
则存在使，，
∴x=1-λ，y=1，z=λ．
要使AN⊥MC，只需即，
解得．可知当时，N点坐标为，能使．
，
有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．
∵，
∴．
故所求的二面角为arccos．
点评：本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．