Question

若命题“?x∈[-1，1]，1+2^x+a?4^x＜0”是假命题，则实数a的最小值为（　　）

• A、2
• B、-

  3

  4

• C、-2
• D、-6

Answer 1

分析：依题意，“?x₀∈[-1，1]，使得1+2x0+a•4x0≥0成立，分离a，利用配方法与指数函数的性质即可求得实数a的最小值．

解答：解：∵命题“?x∈[-1，1]，1+2^x+a•4^x＜0”是假命题，
∴?x₀∈[-1，1]，使得1+2x0+a•4x0≥0成立，
即?x₀∈[-1，1]，a≥-

1+2x0

4x0

=-(

1

2

)2x0-(

1

2

)x0（-1≤x₀≤1）成立，
令g（x）=-[(

1

2

)x]2-(

1

2

)x=-[(

1

2

)x+

1

2

]2+

1

4

，
则a≥g（x）_min．
∵-1≤x₀≤1，
∴

1

2

≤(

1

2

)x0≤2，
当(

1

2

)x0=2时，g（x）_min=-(2+

1

2

)2+

1

4

=-6，
∴a≥-6，
∴实数a的最小值为-6．
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的关系，考查存在性命题成立问题，考查转化思想与思维运算能力，属于难题．