Question

计算：（1）y=

1

2+sinx

的值域为

 

，
（2）y=cos（sinx）的值域为

 

，
（3）y=tan²x+4cot²+1的值域为

 

．

Answer 1

分析：（1）因为sinx的值域为-1≤sinx≤1，得到2+sinx的范围，即可得到y的值域；
（2）-1≤sinx≤1，所以根据余弦函数的特点得到cos1≤y≤1；
（3）y=tan²x+

4

tan2x

+1≥4+1=5，当且仅当tanx=

2

时取等号，得到y的最小值为5，所以得到y的值域．

解答：解：（1）因为-1≤sinx≤1，得1≤2+sinx≤3，所以

1

3

≤

1

2+sinx

≤1即y=

1

2+sinx

的值域为[

1

3

，1]；
（2）因为-1≤sinx≤1，而余弦函数为关于y轴对称的偶函数且[-1，1]⊆[-

π

2

，

π

2

]，所以y=cos（sinx）的值域为[cos1，1]；
（3）因为y=tan²x+

4

tan2x

+1≥4+1=5，当且仅当tanx=

2

时取等号，所以y=tan²x+4cot²+1的值域为[5，+∞）．
故答案为（1）[

1

3

，1]，（2）[cos1，1]，（3）[5，+∞）

点评：考查学生掌握正弦函数、余弦函数的求值域的方法，以及会利用基本不等式求函数的最小值．