Question

已知函数f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[-

1

2

，

3

2

]
（1）当θ=

π

6

时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[-

1

2

，

3

2

]上是单调增函数，且θ∈[0，2π），求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题目条件，可以确定函数的解析式 f(x)=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

，从而利用二次函数的单调性求得函数f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在 x∈[-

1

2

，

3

2

]上是单调增函数，利用对称轴与给定区间的关系，求出-sinθ≤-

1

2

即可得到θ的取值范围．

解答：解（1） θ=

π

6

时，f(x)=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

由 x∈[-

1

2

，

3

2

]，当 x=-

1

2

时，f（x）有最小值为 -

5

4

当x=

3

2

时，函数f（x）有最大值

3

2

-

1

4

（7分）
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的图象的对称轴为x=-sinθ，
要使f（x）在x∈[-

1

2

，

3

2

]上是单调增函数，则-sinθ≤-

1

2

（11分）
又∵θ∈[0，2π）
所求θ的取值范围是 θ∈[

π

6

，

5π

6

]（14分）

点评：本题主要考查了二次函数的单调性，利用配方求得其对称轴，结合三角函数的图象与性质解决问题，是个中档题．