Question

如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，三角形PAD为等边三角形，平面APD⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，E，F分别为AD和PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）取DP的中点G，连接EG、FG．要证EF∥平面PAD，需要证面GEF∥面PAD，需要证 ，易得证明思路．
（2）求点B到平面PAC的距离常用体积相等来求解即v_B-PAC=V_P-ABC而三棱锥P-ABC的高利用题中的条件易知是PE在利用体积相等可求解．
解答：解：（1）取DP的中点G，连接EG、FG，
∵F是PC的中点，G是DP的中点，
∴GF是△PCD的中位线，GF∥CD∥AB；
∵G是DP的中点，E是AB的中点，
∴GE∥AP；
GE、GF⊆面GEF，GE与GF相交，∴面GEF∥面PAB，
∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAB．
（2）连接pE，EC
∵三角形PAD为等边三角形且E为AD的中点
∴PE⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD
∴PE⊥面ABCD
∴PE⊥EC
∵AB=2，AD=1
∴PE=
∴PC=
∴
设B到面PAC的距离为h则v_B-PAC=V_P-ABC．．，
∴h=
点评：本题综合考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积公式等知识点；求棱锥的高常用高的找法是轮换棱锥的顶点利用体积相等来求同时本题用了等过三角形的中点和勾股定理找垂直．