Question

已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，且对于任意不等式恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）构造函数，求证：

Answer 1

（1）若,函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）若，且对于任意不等式恒成立，实数的取值范围是．
（3），
故．

解：（1），
．
当时，；当时，.
因此，函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）由，得
．
当时，．
此时，在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时，的变化情况如下表：
 
由上表可知，当时，有最小值．
依题意，得
，
．
综上：实数的取值范围是．
（3），

，，
因此，，
故．