Question

（本小题满分14分）
如图1，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.

Answer 1

（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且．                     …………………………3分
所以四边形为平行四边形．
所以∥．                                  …………………………4分
又因为平面，且平面，
所以∥平面．                               ………………………5分
（2）证明：在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面． 
所以．                                     ………………………7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．
所以．                                   …………………………8分
所以平面．                             …………………………10分
（3）解法一：由（2）知，平面
又因为平面，所以平面平面．   ……………………11分
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度      ………………………12分   在直角三角形中，
所以
所以点到平面的距离等于.                 ………………………14分
解法二：由（2）知，
所以
             ………………………12分
又，设点到平面的距离为
则  
所以  
所以点到平面的距离等于.                 ………………………14分

略