题目内容

点P在椭圆
x2
5
+
y2
1
=1上，F1，F2为焦点 且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为（　　）
分析：由点P在椭圆
x2
5
+
y2
1
=1上，F1，F2为焦点 且∠F1PF2=60°，利用椭圆性质和余弦定理，建立方程组，求出|PF1|•|PF2|=
4
3
，再由正弦定理能够求出△F1PF2的面积．
解答：解：∵点P在椭圆
x2
5
+
y2
1
=1上，F1，F2为焦点 且∠F1PF2=60°，
∴
|PF1|+|PF2|=2
5
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos60°=16
，
解得|PF1|•|PF2|=
4
3
，
∴△F1PF2的面积S=
1
2
×|PF1|•|PF2|•sin60°=
1
2
×
4
3
×
3
2
=
3
3
．
故选A．
点评：若点P在椭圆上，F1，F2为焦点 且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为S=b2tan
θ
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
5
+
y2
2
=1和圆C：x2+y2=4，且圆C与x轴交于A1，A2两点．
（1）设椭圆C1的右焦点为F，点P的圆C上异于A1，A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明；
（2）设点M（x0，y0）在直线x+y-3=0上，若存在点N∈C，使得∠OMN=60°（O为坐标原点），求x0的取值范围．
下列五个命题，其中真命题的序号是
 
（写出所有真命题的序号）．
（1）已知C：
x2
2-m
+
y2
m2-4
=1（m∈R），当m＜-2时C表示椭圆．
（2）在椭圆
x2
45
+
y2
20
=1上有一点P，F1、F2是椭圆的左，右焦点，△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个．
（3）曲线
x2
10-m
+
y2
6-m
=1(m＜6)与曲线
x2
5-m
+
y2
9-m
=1(5＜m＜9)的焦距相同．
（4）渐近线方程为y=±
b
a
x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是
x2
a2
-
y2
b2
=1
（5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，
1
4a
)．
已知椭圆E：
x2
5
+
y2
3
=1．
（1）在直线l：x-y+2=0上取一点P，过点P且以椭圆E的焦点为焦点的椭圆中，求长轴最短的椭圆C的方程；
（2）设P，Q，R，N都在椭圆C上，F为右焦点，已知
PF
∥
FQ
，
RF
∥
FN
且
PF
•
RF
=0，求四边形PRQN面积S的取值范围．
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”．
②在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足||MF1|-|MF2||=4，则点M的轨迹是双曲线．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．
④“若-3＜m＜5则方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1是椭圆”．
⑤在四面体OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，D为BC的中点，E为AD的中点，则
OE
=
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c

⑥椭圆
x2
25
+
y2
9
=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5．
其中真命题的序号是：
①②③⑤⑥
①②③⑤⑥
．
下列五个命题，其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）．
（1）已知C：
x2
2-m
+
y2
m2-4
=1（m∈R），当m＜-2时C表示椭圆．
（2）在椭圆
x2
45
+
y2
20
=1上有一点P，F1、F2是椭圆的左，右焦点，△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个．
（3）曲线
x2
10-m
+
y2
6-m
=1(m＜6)与曲线
x2
5-m
+
y2
9-m
=1(5＜m＜9)的焦距相同．
（4）渐近线方程为y=±
b
a
x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是
x2
a2
-
y2
b2
=1
（5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，
1
4a
)．

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