Question

给出下列三个命题中，其中所有正确命题的序号是

②

．
①函数f（x）=x+

k

x

（k≠0）在（0，+∞）上的最小值是2

k

．
②命题“函数f（x）=xsinx+1，当x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|时，有f（x₁）＞f（x₂）”是真命题．
③函数f（x）=|x²-4|，若f（m）=f（n），且0＜m＜n，则动点p（m，n）到直线5x+12y+39=0的最小距离是3-2

2

．

Answer 1

分析：①讨论k的符号，利用函数的单调性和基本不等式进行判断．②利用导数研究函数的单调性即可．③利用点到直线的距离公式进行判断．

解答：解：①当k＜0时，函数f（x）=x+

k

x

（k≠0）在（0，+∞）上单调递增，此时函数无最小值，∴①错误．
②∵f（x）=xsinx+1，∴f（-x）=-xsin（-x）+1=xsinx+1=f（x），即f（x）是偶函数，f'（x）=sinx+xcosx，当0≤x≤

π

2

时，f'（x）≥0，此时函数f（x）单调递增，
∴当|x₁|＞|x₂|时，有f（|x₁|）＞f（|x₂|），∵函数f（x）是偶函数，∴f（x₁）＞f（x₂）成立．∴②正确．
③作出函数f（x）=|x²-4|的图象，由图象可知若f（m）=f（n），且0＜m＜n，
则0＜m＜2，n＞2．
∴f（m）=|m²-4|=4-m²，f（n）=|n²-4|=n²-4，
由f（m）=f（n），得4-m²=n²-4，即m²+n²=8，（0＜m＜n），
则动点P（m，n）的轨迹是以原点为圆心，半径r=2

2

的圆弧AB上，
则由图象可知当点P位于点B（2

2

，0）时，p（m，n）到直线5x+12y+39=0的距离最小，
此时d=

|5 2 +39|

52+122

=

5 2 +39

13

=

5 2

13

+3，∴③错误．
故答案为：②．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，主要考查函数的奇偶性的应用，基本不等式以及直线和圆的位置关系的判断，综合性较强．