Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与交于另一点N，过原点的直线l与交于P，Q两点

（1）求周长的最小值：

（2）是否存在这样的直线，使得与直线平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.

（3）直线l与线段相交，且四边形的面积，求直线l的斜率k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为；（3）.

【解析】

（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦的长度最小值时，的周长取得最小值；

（2）设与直线平行的弦所在的直线方程为，将其代入曲线的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数可得结果；

（3）设直线l的方程为，代入曲线，解得两个交点坐标，联立直线与曲线的方程，解得的坐标，求出点到直线的距离，然后求出四边形的面积，根据解不等式可得结果.

（1）连接，又直线l过原点，由椭圆的对称性得，

则的周长，

要使得的周长最小，即过原点的弦最短，

由椭圆的性质可知，当弦与的短轴重合时最短，即弦的最小值为4，

则周长的最小值为10.

（2）依题意，设与直线平行的弦所在的直线方程为，与的交点坐标为，，

平行弦中点的坐标为，

联立，化简整理得，

当

即时，平行弦存在，

则，，则，

故存在满足条件的直线，其方程为.

（3）设直线l的方程为，点，.（不妨设），

由消去并化简得，即，，

依题意，直线的方程为，

由，得，解得或，

所以，，所以，，

则.

又l与线段有交点且为四边形，所以，即，

点P，Q到直线的距离分别为，，

则

，

又，即.

化简整理得，，解得，

又，所以.

则所求的直线l的斜率k的取值范围为.