Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率，且点P（-2，0）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为：，
由题意得，a=2，所以c=，
又b²=a²-c²=1，
所以椭圆的方程为：；
（2）①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，，，
=，
∴12k²+5m²-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得，
当时，恒过定点；
当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去；
②当直线l垂直于x轴时，直线AB：，则AB与椭圆C相交于，，
∴，∵PA⊥PB，满足题意，
综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为．
分析：（1）设椭圆的方程为：，由题意得，a=2，再由b²=a²-c²可求得c，b；
（2）分情况讨论：①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），与椭圆方程联立方程组消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理即及=0可得m，k的关系式，分别代入直线方程可求得定点坐标，②当直线l垂直于x轴时，直线AB：，检验即可；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．