Question

若方程2|x-1|=a有且仅有二解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．[0，+∞）
C．（0，+∞）
D．（-∞，0]

Answer 1

【答案】分析：由方程根的个数与函数零点之间的辩证关系，我们构造函数y=2|x-1|，画出其图象后，利用图象法，分别讨论a＜0，a=0和a＞0时，函数图象与直线y=a的交点个数，进而可以得到方程2|x-1|=a有且仅有二解时，实数a的取值范围．
解答：解：令y=2|x-1|
则函数的图象如下图所示：

由图可知，当a＜0时，直线y=a与函数y=2|x-1|的图象没有交点，即方程2|x-1|=a无解；
当a=0时，直线y=a与函数y=2|x-1|的图象有一个交点，即方程2|x-1|=a有一解；
当a＞0时，直线y=a与函数y=2|x-1|的图象有两个交点，即方程2|x-1|=a有两解：
故若方程2|x-1|=a有且仅有二解，则实数a的取值范围是（0，+∞）
故选C
点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数，根的存在性及根的个数判断，其中构造函数y=2|x-1|，将方程根的个数判断，转化为判断函数图象与直线y=a的交点个数，是解答本题的关键．