Question

已知函数f(x)=

log2(x+2)(x＜0) 1 2 f(x-1)(x≥0)

，若方程f(x)=(

1

2

)x+a有两个不同实根，则实数a的取值范围是

-1≤a＜-

1

2

．

Answer 1

分析：作出函数的图象，将方程f(x)=(

1

2

)x+a有两个不同实根，转化为图象由两个不同的交点，即可确定实数a的取值范围．

解答：解：函数f(x)=

log2(x+2)(x＜0) 1 2 f(x-1)(x≥0)

图象如图所示，
f(x)=(

1

2

)x+a可由f(x)=(

1

2

)x变换得到，由图象可知，f(x)=(

1

2

)x+a图象经过（1，0）时，有三个交点，此时a=-

1

2

；
经过（0，0）时，有两个交点，此时a=-1，
根据图象，方程f(x)=(

1

2

)x+a有两个不同实根时，实数a的取值范围是-1≤a＜-

1

2

故答案为：-1≤a＜-

1

2

．

点评：本题考查方程的解的个数，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．