Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=6，PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是三棱锥M-PAB，三棱锥M-PBC，三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（

5

3

，x，y），且

1

x

+

a

y

≥27恒成立，则正实数a的最小值为

4

．

Answer 1

分析：先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式用a表示

1

x

+

a

y

的最小值，分析可得关于a的不等式，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答：解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=6，PB=2，PC=1，
则V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×6×2×1=2，
则f（M）=（

5

3

，x，y）中，有x+y+

5

3

=2，
即有x+y=

1

3

，

1

x

+

a

y

=（

1

x

+

a

y

）•（x+y）•3≥3（

a

+1）²，
所以3（

a

+1）²≥27，
解可得a≥4，即a的最小值为4；
故答案为4．

点评：本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，要注意准确理解f（m）的意义．