Question

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

上是减函数，在

a

，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

在（0，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；
（2）设常数c∈1，4，求函数f（x）=x+

c

x

（1≤x≤2）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=x+

a

x

的性质可知

2b

=4，从而可求出b的值；
（2）讨论

c

是否在定义域内，从而可求出函数的最小值，讨论c可确定f（1）与f（2）的大小，从而求出函数的最大值．

解答：解：（1）由函数y=x+

a

x

的性质知：y=x+

2b

x

在（0，

2b

）上是减函数，在（

2b

，+∞）上是增函数，
∴

2b

=4，∴2^b=16=2⁴，∴b=4．
（2）∵c∈（1，4），∴

c

∈1，2．
又∵f（x）=x+

c

x

在（0，

c

）上是减函数，在（

c

，+∞）上是增函数，
∴

c

∈[1，2]时，当x=

c

时，函数取得最小值2 

c

．
又f（1）=1+c，f（2）=2+

c

2

，
f（2）-f（1）=1-

c

2

．
当c∈（1，2）时，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=2+

c

2

．
当c=2时，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=f（1）=3．
当c∈（2，4时，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
此时f（x）的最大值为f（1）=1+c．
综上所述，函数f（x）的最小值为2

c

；
当c∈（1，2）时，函数f（x）的最大值为2+

c

2

；
当c=2时，函数f（x）的最大值为3；
当c∈（2，4）时，函数f（x）的最大值为1+c．

点评：本题主要考查了新定义，以及函数的最大值和最小值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．