Question

过点M（1，1）作一直线与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1相交于A，B两点，若M点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为

 

．

Answer 1

分析：设出通过点M（1，1）的直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M（1，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．

解答：解：由题意，直线AB的斜率存在，设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1，
代入椭圆方程，整理得（9k²+4）x²+18k（1-k）x+9（1-k）²-36=0
设A、B的横坐标分别为x₁、x₂，则

x1+x2

2

=

-18k(1-k)

2(9k2+4)

=1，
解之得k=-

4

9

故AB所在直线的方程为y=-

4

9

(x-1)+1，即为4x+9y-13=0．
故答案为：4x+9y-13=0．

点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的应用，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解．