Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，Sn+an=2n(n∈N*)．
（1）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得，2a_n-a_n-1=2，变形为2（a_n-2）=a_n-1-2，可得数列{a_n-2}为等比数列；
（2）利用（1）可得a_n，利用已知S_n+a_n=2n可得S_n，再利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵S_n+a_n=2n，①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2，∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2，
∵a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）由（1）得an-2=-(

1

2

)n-1，∴an=2-(

1

2

)n-1，
∵S_n+a_n=2n，∴Sn=2n-an=2n-2+(

1

2

)n-1，
∴Tn=[0+(

1

2

)0]+[2+(

1

2

)]+…+[2n-2+(

1

2

)n-1]
=[0+2+…+(2n-2)]+[(

1

2

)0+(

1

2

)+…+(

1

2

)n-1]
=

n(2n-2)

2

+

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=n2-n+2-(

1

2

)n-1．

点评：本题考查了经过变形转化为等比数列、等差数列和等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．