Question

椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点P到两焦点的距离之积为m．则当m取最大值时，点P的坐标是（　　）

• A．（5，0）和（-5，0）
• B．(

  5

  2

   ， 

  3 3

  2

  )和(

  5

  2

   ， -

  3 3

  2

  )
• C．（0，3）和（0，-3）
• D．(

  5 3

  2

   ， 

  3

  2

  )和(-

  5 3

  2

   ， 

  3

  2

  )

Answer 1

分析：根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，再利用基本不等式加以计算，可得m=|PF₁|•|PF₂|≤a²=25，当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，m的最大值为25．由此即可算出满足条件的P点的坐标．

解答：解：∵椭圆

x2

25

+

y2

9

=1中，a²=25，b²=9，
∴a=5，b=3可得c=

a2-b2

=4，
由椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
因此点P到两焦点的距离之积为m=|PF₁|•|PF₂|≤[

1

2

（|PF₁|+|PF₂|）]²=25，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，m的最大值为25．
此时P点的坐标为（0，3）或（0，-3）．
故选：C

点评：本题给出椭圆方程，求椭圆上点P到两个焦点的距离之积的最大值．着重考查了椭圆的定义、标准方程和基本不等式等知识，属于中档题．