Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义，求得a的值，再利用切点P（2，f（2）在直线y=3x+1上，可得b的值，从而，可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调性．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得f′(x)=1-

a

x2

，由导数的几何意义得f′（2）=3，即1-

a

4

=3
∴a=-8．
由切点P（2，f（2）在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x-

8

x

+9．
（Ⅱ）求导函数可得f′(x)=1-

a

x2

．
当a≤0时，∵x≠0，∴f′（x）＞0，这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）内是增函数．
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=±

a

．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，- a ）	- a	(- a ，0)	（0， a ）	a	( a ，+∞)
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以，f（x）在（-∞，-

a

），(

a

，+∞)内是增函数，在(-

a

，0)，（0，

a

）内是减函数．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．