Question

【题目】已知函数．

(I)若，判断上的单调性；

(Ⅱ)求函数上的最小值；

(III)当时，是否存在正整数n，使恒成立？若存在，求出n的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(I)见解析；(Ⅱ)见解析； (III)见解析

【解析】

（I）根据f′（x）的符号得出结论；

（II）讨论a的范围，得出f（x）在[1，e]上单调性，根据单调性得出最小值；

（III）化简不等式可得n+xlnx，根据两侧函数的单调性得出两函数在极值点处的函数值的大小，从而得出n的范围．

（Ⅰ）当时，

由于，故，

在单调递增.

(Ⅱ)

当时，在上单调递增，

，

当时，由解得（负值舍去）

设

若，即，也就是时，单调递增，

，

若，即时

单调递减，

单调递增.

故

若即时单调递减

，

综上所述：当时，的最小值为1；

当时，的最小值为

当时，的最小值为.

（Ⅲ）当时，不等式为

恒成立

由于，故成立，，又

所以n只可能为1或2.

下证时不等式恒成立

事实上，设

，

又设在单调递增

故

即

所以当时，单调递减，

时，单调递增，

故

即时，，对恒成立，

所以存在正整数n，且n的最大值为2，满足题意.