Question

设函数f(x)=-

1

3

x3+x2+(a2-1)x，其中a＞0．
（1）若函数y=f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）已知函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）求导函数，可得f′（x）=-x²+2x+（a²-1）
∵函数y=f（x）在x=-1处取得极值，
∴f′（-1）=0
∴-1-2+（a²-1）=0
∴a=±2
经检验，a=2符合题意；
（2）由题意，f(x)=-

1

3

x3+x2+(a2-1)x=x（-

1

3

x2+x+a2-1）=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)
∵函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，
∴-

1

3

x2+x+a2-1=0有两个相异的实根x₁、x₂，
∴△=1+

4

3

(a2-1)＞0，∴a＜-

1

2

（舍去），或a＞

1

2

且x₁+x₂=3
∵x₁＜x₂，∴2x₂＞x₁+x₂=3，∴x₂＞

3

2

＞1
①若x₁≤1＜x₂，则f（1）=-

1

3

(1-x1)(1-x2)≥0，而f（x₁）=0，不符合题意；
②若1＜x₁＜x₂，则对任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₁≥0，x-x₂≤0，
∴f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0
又f（x₁）=0，∴f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0
∴对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，等价于f（1）=a2-

1

3

＜0
∴-

3

3

＜a＜

3

3

综上可得a的取值范围为(

1

2

，

3

3

)．