Question

函数f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）求实数a、b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据函数是奇函数，可得f（0）=0，再根据f（

1

2

）=

2

5

，列出关于a，b的方程组，求出即可得解析式；
（2）用函数单调性定义证明，任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）作差与0比较，从而证明函数的单调性．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即

-ax+b

x2+1

=-

ax+b

x2+1

，-ax+b=-ax-b，
∴b=0，（或直接利用f（0）=0，解得b=0）．
∴f（x）=

ax

x2+1

，
∵f（

1

2

）=

2

5

，
∴

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

解得a=1，
∴f（x）=

x

x2+1

（2）f（x）在（-1，1）上是增函数．
证明如下：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，x₁-x₂0，x12+1＞0，  x22+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评：本题考查了函数的解析式、函数的奇偶性的应用、函数的单调性的证明，函数单调性的证明要注意作差后化简到能直接判断符号为止．