Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1，且f（0）=1
（1）求f（x）的表达式；
（2）当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=1
∴c=1
∴f（x）=ax²+bx+1，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+2ax+a+bx+b+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x+1
∴2ax+a+b=2x+1
∴

2a=2 a+b=1

∴a=1，b=0．
∴f（x）=x²+1
（2）∵当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，
∴由（1）知当-1≤x≤1时，x²+1≤3x+m恒成立，
∴当-1≤x≤1时，（x-

3

2

）²≤m+

5

4

恒成立，
当x=1时，（x-

3

2

）²_max=

25

4

，
∴

25

4

≤m+

5

4

，
∴m≥5．
∴当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，实数m的最小值是5．