Question

已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，有S_n=

1

4

（a_n+1）²．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an•an+1

，记{b_n}的前n项和T_n，证明T_n≥

1

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1求出首项，然后根据4a_n=4S_n-4S_n-1进行化简得a_n-a_n-1=2，从而得到数列{a_n}是等差数列，直接求出通项公式即可；
（2）利用裂项法求出前n项和T_n，即可证明结论．

解答： （1）解：∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，
∴a₁=1．当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²，
又{a_n}各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=2n-1；
（2）证明：b_n=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

=

1

2+ 1 n

≥

1

3

．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，考查等差数列的性质及其应用，第二问难度有些大，利用裂项法进行求和，这是数列求和常用的方法，此题是一道中档题．