题目内容

已知 $数学公式$ ，函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若 $数学公式$ ，求函数f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值时相应的x的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴函数 $\text{[math]}$ =3sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x=2 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）（x∈R）
∴T= $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴ $\text{[math]}$
∴函数的单调减区间为[ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）
（2）由（1）知，f（x）在[ $\text{[math]}$ ]上单调递增，在[ $\text{[math]}$ ]上单调递减
∴x= $\text{[math]}$ 时，f（x）有最大值f（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$
∵f（0）= $\text{[math]}$ ＞f（ $\text{[math]}$ ）=0
∴x= $\text{[math]}$ 时，函数有最小值f（ $\text{[math]}$ ）=0
分析：（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式，辅助角公式，化简函数，周期利用正弦函数的性质，即可求得函数的单调减区间；
（2）由（1）知，f（x）在[ $\text{[math]}$ ]上单调递增，在[ $\text{[math]}$ ]上单调递减，从而可得函数的最值．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与最值，正确化简函数是关键．