Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=(cos2

A

2

，cos2A)，

n

=(4，-1)且

m

•

n

=

7

2

．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，试判断bc取得最大时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积的坐标表示可得，

m

•

n

=-2cos2A+2cosA+3=

7

2

，结合0＜A＜π，可得A=

π

3

（II）由余弦定理可得，(

3

)2=b2+c2-2bccos

π

3

=b2+c2-bc．
由基本不等式b²+c²≥2bc可得3≥2bc-bc从而可得，bc≤3，当b=c=

3

取等号，从而可得

解答：解：（Ⅰ）由已知得，

m

•

n

=4cos2

A

2

-cos2A=4•

1+cosA

2

-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cosA+3=

7

2

，解得cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

（Ⅱ）由余弦定理可得(

3

)2=b2+c2-2bccos

π

3

=b2+c2-bc．
∵b²+c²≥2bc，∴3≥2bc-bc，即bc≤3，
当且仅当b=c=

3

时，bc取得最大值，此时a=b=c=

3

，
故△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查了向量数量积的坐标表示余弦定理的应用，基本不等式的应用，等知识求解三角函数值、判断三角形的形状．属于综合试题，但难度不大．