Question

【题目】已知椭圆的标准方程是，设是椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过做的垂线交椭圆于点，.

（1）证明：线段平分线段（其中为坐标原点）；

（2）当最小时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或.

【解析】

（1）由椭圆的标准方程可得的坐标，设点坐标为，可得直线的斜率，讨论与两种情况，设直线的方程是，，；联立直线与椭圆方程，即可用表示点的坐标，即可证明结论.

（2）由（1）结合弦长公式，表示出，即可得，结合基本不等式即可求得最小值及最小值时的值，进而得点的坐标.

（1）证明：椭圆的标准方程是，

设是椭圆的左焦点，为直线上任意一点，

所以得坐标为，设点坐标为，

则直线的斜率，

当时，直线的斜率，

直线的方程是，

当时，直线的方程，

也符合方程的形式，

设，，将直线的方程与椭圆的方程联立得：

消去得，

有，

设的中点的坐标为，

， ，

所以直线的斜率，又因为直线的斜率，

所以点在直线上，因此线段平分线段.

（2）由（1）知，，

所以，

当且仅当，

即时等号成立，此时取得最小值，

点的坐标为或