Question

20．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{5}{3}$，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公项；
（2）设${c_n}=log_3^{\frac{{{{（{a_n}-1）}^2}}}{4}}$，数列$\left\{{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+2}}}}}\right\}$的前n项和为T_n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有T_n＜$\frac{m}{16}$成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得3（a_n+1-1）=（a_n-1），从而可得b₁=$\frac{2}{3}$，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，从而证明；从而求得a_n=$\frac{2}{3}$•$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+1；
（2）化简${c_n}=log_3^{\frac{{{{（{a_n}-1）}^2}}}{4}}$=log₃$\frac{（\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}）^{2}}{4}$=log₃3^-2n=-2n，从而可得$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+2}}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），从而利用裂项求和法求解．

解答 解：（1）∵3a_n+1=a_n+2，∴3（a_n+1-1）=（a_n-1），
又∵b₁=a₁-1=$\frac{5}{3}$-1=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，
故数列{b_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
∴b_n=a_n-1=$\frac{2}{3}$•$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$•$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+1；
（2）${c_n}=log_3^{\frac{{{{（{a_n}-1）}^2}}}{4}}$=log₃$\frac{（\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}）^{2}}{4}$=log₃3^-2n=-2n，
∴$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+2}}$=$\frac{1}{（-2n）（-2（n+2））}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{8}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{8}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{16}$-$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{16}$，
故m≥3，
故m=3．

点评 本题考查了等比数列的证明及裂项求和法的应用．