Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，则点集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，|λ|+|μ|≤2，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是

16

3

．

Answer 1

分析：由两定点A，B满足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤2，去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．

解答：解：由两定点A，B满足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．
不妨设A（

3

，-1），B（

3

，1）．再设P（x，y）．
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得：（x，y）=（

3

λ，-λ）+（

3

μ，μ）=（

3

λ+

3

μ，μ-λ）．
所以

λ+μ= 3 3 x μ-λ=y

，解得

λ= 3 6 x- 1 2 y μ= 3 6 x+ 1 2 y

①，
由|λ|+|μ|≤2．
所以①等价于

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y≥0 x≤2 3

或

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y＜0 y≥-2

或

3 6 x- 1 2 y＜0 3 6 x+ 1 2 y≥0 y≤2

或

3 6 x- 1 2 y＜0 3 6 x+ 1 2 y＜0 x≥-2 3

，
可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，

则区域面积为4×4

3

=16

3

．
故答案为：16

3

．

点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．