Question

已知|

a

|=2|

b

|，且

b

≠

0

，函数f（x）=x²+|

a

|x-

a

•

b

只有一个零点，则

a

与

b

的夹角为（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  3

• C．

  2π

  3

• D．

  π

  4

Answer 1

分析：根据二次函数只有一个零点，由根的判别式列式化简得|

a

|²=-4

a

•

b

．设

a

与

b

的夹角为α，由|

a

|=2|

b

|利用向量的数量积公式算出

a

•

b

=

1

2

|

a

|²cosα，从而得到cosα=-

1

2

，由此即可算出

a

与

b

的夹角大小．

解答：解：∵二次函数f（x）=x²+|

a

|x-

a

•

b

只有一个零点，
∴△=|

a

|²-4×1×（-

a

•

b

）=0，即|

a

|²=-4

a

•

b

．
设

a

与

b

的夹角为α，
∵|

a

|=2|

b

|，
∴

a

•

b

=

|a|

•

|b|

cosα=

1

2

|

a

|²cosα．
因此|

a

|²=-4

a

•

b

=-2|

a

|²cosα，解得cosα=-

1

2

，
∵α∈[0，π]，
∴α=

2π

3

，即

a

与

b

的夹角为

2π

3

．
故选：C

点评：本题给出以向量的数量积与模作为参数的二次函数，在二次函数有唯一零点的情况下求向量的夹角．着重考查了平面向量的数量积公式及其性质、二次函数的零点等知识，属于中档题．